Question

6．已知f₁（x）=sinx，f_n（x）=f′_n-1（x），n≥2，则$\sum_{i=1}^{2008}{{f_i}（0）=}$0．

Answer 1

分析 求函数的导数，得到得f_n+4（x）=f_n（x），利用函数的周期性进而可求出答案

解答 解：∵（sinx）′=cosx，（cosx）′=-sinx，（-sinx）′=-cosx，（-cosx）′=sinx，
∴f_n+4（x）=f_n（x），n∈N^*，
即函数f_n（x）是周期为4的周期函数，
且f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=sinx+cosx-sinx-cosx=0，
则$\sum_{i=1}^{2008}{{f_i}（0）=}$502（f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x））=502×0=0，
故答案为：0

点评 本题考查了三角函数的导数，理解三角函数的导函数具有周期性是解决此问题的关键．