Question

1．已知以点A（-1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B（-2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点
（1）求圆A的方程．
（2）当|MN|=2$\sqrt{19}$时，求直线l方程．

Answer 1

分析 （1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；
（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．

解答 解：（1）意知A（-1，2）到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径r，
∴$r=\frac{|-1+4+7|}{{\sqrt{5}}}=2\sqrt{5}$，
∴圆A方程为（x+1）²+（y-2）²=20（5分）
（2）垂径定理可知∠MQA=90°．且$MQ=\sqrt{19}$，
在Rt△AMQ中由勾股定理易知$AQ=\sqrt{A{M^2}-M{Q^2}}=1$
设动直线l方程为：y=k（x+2）或x=-2，显然x=-2合题意．
由A（-1，2）到l距离为1知$\frac{|-k+2k-2|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1得k=\frac{3}{4}$．
∴3x-4y+6=0或x=-2为所求l方程．（7分）

点评 本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．