Question

12．若函数$f（x）=（{1+\frac{1}{tanax}}）{sin^2}ax-2sin（{ax+\frac{π}{4}}）sin（{ax-\frac{π}{4}}）$（a＞0）的图象与直线y=m相切，相邻切点之间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求m和a的值；
（2）若点A（x₀，y₀）是y=f（x）图象的对称中心，且x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）运用切化弦，诱导公式和二倍角公式，两角和的正弦公式，化简整理f（x）的解析式，再有切线的意义和切点间的距离，可得周期，进而求得a，由正弦函数的值域，求得m；
（2）运用正弦函数的对称中心，解方程可得x，由x的范围求得k，进而得到点A的坐标．

解答 解：（1）$f（x）=（{1+\frac{1}{tanax}}）{sin^2}ax-2sin（{ax+\frac{π}{4}}）sin（{ax-\frac{π}{4}}）$
=${sin^2}ax+\frac{1}{tanax}•{sin^2}ax-2cos（{\frac{π}{4}-ax}）sin（{ax-\frac{π}{4}}）$
=${sin^2}ax+cosax•sinax+2cos（{\frac{π}{4}-ax}）sin（{\frac{π}{4}-ax}）$
=${sin^2}ax+cosaxsinax+sin（{\frac{π}{2}-2ax}）$
=sin²ax+cosaxsinax+cos2ax
=sin²ax+cosaxsinax+cos²ax-sin²ax
=${cos^2}ax+cosax•sinax=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（{2ax+\frac{π}{4}}）+\frac{1}{2}$，
由题意知，m为f（x）的最大值或最小值，
所以$m=\frac{{1-\sqrt{2}}}{2}$或$m=\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}$，
由题设知，函数f（x）的周期为$\frac{π}{2}$，
即$\frac{2π}{2a}$=$\frac{π}{2}$，解得a=2，
则$m=\frac{{1-\sqrt{2}}}{2}$或$m=\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}$，a=2．
（2）∵f（x）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（{4x+\frac{π}{4}}）+\frac{1}{2}$，
∴令$sin（{4x+\frac{π}{4}}）=0$，得$4x+\frac{π}{4}$=kπ（k∈Z），
∴$x=\frac{kπ}{4}-\frac{π}{16}$（k∈Z），
由0≤$\frac{kπ}{4}-\frac{π}{16}$≤$\frac{π}{2}$　（k∈Z），得k=1或k=2，
因此点A的坐标为$（{\frac{3π}{16}，\frac{1}{2}}），（{\frac{7π}{16}，\frac{1}{2}}）$．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，以及正弦函数的最值和周期，对称中心，同时考查切线的意义，属于中档题．