Question

4．已知函数y=3sinxcosx+sinx-cosx，则它的值域为（　　）

• A． $[{-\frac{3}{2}-\sqrt{2}，-\frac{3}{2}+\sqrt{2}}]$
• B． $[{-\frac{3}{2}-\sqrt{2}，\frac{5}{3}}]$
• C． $[{\frac{3}{2}+\sqrt{2}，\frac{5}{3}}]$
• D． $[{-\frac{10}{3}，-\frac{3}{2}-\sqrt{2}}]$

Answer 1

分析 首先将y=sinx-cosx+sinxcosx 通过换元法，设sinx-cosx=t（-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$），关系式转化为：g（t）=-$\frac{3}{2}$t²+t+$\frac{3}{2}$，然后利用二次函数的性质就可求得结果．

解答 解：∵y=sinx-cosx+3sinxcosx
设sinx-cosx=t（-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$）则：sinxcosx=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，
因此函数关系是转化为：g（t）=-$\frac{3}{2}$t²+t+$\frac{3}{2}$，利用二次函数的性质就可求得结果．
g（t）=-$\frac{3}{2}$t²+t+$\frac{3}{2}$=-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{5}{3}$，（-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$），
∴g（t）_max=g（$\frac{1}{3}$）=$\frac{5}{3}$，
g（t）_min=g（-$\sqrt{2}$）=-$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$故y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为[-$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$，$\frac{5}{3}$]
故选：B．

点评 本题主要考查了二倍角的正弦及二次函数的性质的应用，重点体现了换元法和配方法，属于中档题．