Question

19．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x²=4y的焦点，直线l：y=kx+m与抛物线交于不同的两点A，B，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=λ$．
（1）当直线l过抛物线C的焦点F时，求λ的值；
（2）设⊙O是以O为圆心且过焦点F的圆，当直线l与⊙O相切时，若λ∈（-3，0），求△AOB面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点F，可得m=1，将直线方程代入抛物线方程，运用韦达定理，结合点满足抛物线方程和向量的数量积的坐标表示，计算即可得到λ的值；
（2）求得圆O的方程，运用直线和圆相切的条件d=r，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，结合条件，可得m的范围，再由三角形的面积公式，化简计算可得所求范围．

解答 解：（1）抛物线C：x²=4y的焦点F为（0，1），
当直线l过抛物线C的焦点F时，即有m=1，
将y=kx+1代入抛物线x²=4y，可得
x²-4kx-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁x₂=-4，y₁y₂=$\frac{1}{4}$x₁²•$\frac{1}{4}$x₂²=1，
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=λ$，可得λ=x₁x₂+y₁y₂=-4+1=-3；
（2）圆O的方程为x²+y²=1，
直线y=kx+m代入抛物线方程可得，
x²-4kx-4m=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，
由直线和圆相切，可得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
即为1+k²=m²，（m＞1），
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=λ$，可得λ=x₁x₂+y₁y₂=-4m+m²∈（-3，0），
解得m∈（3，4），
由|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=|m|•$\sqrt{16{k}^{2}+16m}$=4|m|•$\sqrt{{m}^{2}+m-1}$，
由于|AB|²=16（m⁴+m³-m²），
由f（m）=m⁴+m³-m²的导数为f′（m）=4m³+3m²-2m，
当3＜m＜4时，f′（m）＞0，f（m）递增，
即有|AB|∈（12$\sqrt{11}$，16$\sqrt{19}$）．
即有S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|∈（6$\sqrt{11}$，8$\sqrt{19}$）．

点评 本题考查抛物线的方程和性质的运用，直线和圆相切的条件，同时考查弦长公式的运用，向量的数量积的坐标表示，属于中档题．