Question

9．已知等比数列{a_n}满足a_n+1+a_n=9•2^n-1，n∈N^*，设数列{a_n}的前n项和为S_n．若不等式S_n＞ka_n-2对一切n∈N^*恒成立，则实数k的取值范围是（-∞，$\frac{5}{3}$）．

Answer 1

分析 利用等比数列{a_n}满足a_n+1+a_n=9•2^n-1确定数列的公比与首项、求出a_n、S_n，再利用不等式S_n＞ka_n-2，分离参数、求最值，进而即可求实数k的取值范围．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a_n+1+a_n=9•2^n-1，n∈N^*，
∴当n=1时，有：a₂+a₁=9，
当n=2时，有：a₃+a₂=18，
∴q=$\frac{{a}_{3}+{a}_{2}}{{a}_{2}+{a}_{1}}$=$\frac{18}{9}$=2，
又∵a₂+a₁=2a₁+a₁=9，
∴a₁=3，
∴a_n=3•2^n-1，S_n=$\frac{3（1-{2}^{n}）}{1-2}$=3•2ⁿ-3，
∵不等式S_n＞ka_n-2对一切n∈N^*恒成立，
即3•2ⁿ-3＞3k•2^n-1-2，
∴k＜2-$\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$≤2-$\frac{1}{3•{2}^{1-1}}$=$\frac{5}{3}$，
∴k∈（-∞，$\frac{5}{3}$），
故答案为：（-∞，$\frac{5}{3}$）．

点评 本题考查数列递推式，考查等比数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．