Question

17．在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA、OB分别相交于点M、N，若$\overrightarrow{OM}$=sinθ•$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{ON}$=cosθ•$\overrightarrow{OB}$，其中θ∈（0，$\frac{π}{2}$），试求sinθ•cosθ的值．

Answer 1

分析 利用平行四边形对边平行且相等以及平行线分线段成比例可得sinθ与cosθ的关系，结合同角三角函数的基本关系，可得答案．

解答 解：利用平行四边形对边平行且相等以及平行线分线段成比例可得：$\frac{\left|\overrightarrow{OM}\right|}{\left|\overrightarrow{OA}\right|}$=$\frac{\left|\overrightarrow{OM}\right|}{\left|\overrightarrow{CB}\right|}$=$\frac{\left|\overrightarrow{ON}\right|}{\left|\overrightarrow{NB}\right|}$，
又由 $\overrightarrow{OM}$=sinθ•$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{ON}$=cosθ•$\overrightarrow{OB}$；
∴sinθ=$\frac{cosθ}{1-cosθ}$，cosθ=$\frac{sinθ}{1+sinθ}$，
∴sinθ-cosθ=sinθ•cosθ，
∴（sinθ-cosθ）²=（sinθ•cosθ）²，
又由sin²θ+cos²θ=1，
故1-2sinθ•cosθ=（sinθ•cosθ）²，
结合θ∈（0，$\frac{π}{2}$）可得：sinθ•cosθ=$-1+\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是平行线分线段成比例定定理，同角三角函数的基本关系，难度中档．