Question

5．函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{x}{2}$）的单调递增区间是[4kπ-$\frac{π}{2}$，4kπ+$\frac{π}{2}$），k∈Z．

Answer 1

分析 由题意可得本题即求t=sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）在函数值小于零时的增区间．再结合正弦函数的图象特征可得 2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$＜2kπ，k∈Z，由此求得x的范围，即为所求．

解答 解：函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{x}{2}$）的单调递增区间，即函数y=sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{x}{2}$）在函数值大于零时的单调递减区间．
再根据y=sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{x}{2}$）=-sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$），可得本题即求t=sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）在函数值小于零时的增区间．
再结合正弦函数的图象特征可得 2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$＜2kπ，k∈Z，
求得4kπ-$\frac{π}{2}$≤x＜4kπ+$\frac{π}{2}$，可得原函数的单调增区间为[4kπ-$\frac{π}{2}$，4kπ+$\frac{π}{2}$），k∈Z，
故答案为：[4kπ-$\frac{π}{2}$，4kπ+$\frac{π}{2}$），k∈Z．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性，对数函数的定义域，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．