【题目】设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),等比数列{bn}的前n项和为Tn(n∈N*),已知a1=3,b1=1,a3+b2=10,S3﹣T2=11.
(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式:
(Ⅱ)若数列{cn}满足c1=1,cn+1﹣cn=an,求c100;
(Ⅲ)设数列dn=anbn,求{dn}的前n项和Kn.
【答案】(Ⅰ)an=2n+1,bn=3n,n∈N*;(Ⅱ)10000;(Ⅲ)Kn=n3n+1.
【解析】
(Ⅰ)等差数列{an}的公差设为d,等比数列{bn}的公比设为q,运用等差数列和等比数列的通项公式,解方程可得公差和公比,进而得到所求通项公式;
(Ⅱ)求得cn+1﹣cn=an=2n+1,由数列的恒等式cn=c1+(c2﹣c1)+(c3﹣c2)+…+(cn﹣cn﹣1),结合等差数列的求和公式,计算可得所求和;
(Ⅲ)求得dn=anbn=(2n+1)3n,运用数列的错位相减法求和,结合等比数列的求和公式,计算可得所求和.
(Ⅰ)等差数列{an}的公差设为d,前n项和为Sn(n∈N*),
等比数列{bn}的公比设为q,前n项和为Tn(n∈N*),
由a1=3,b1=1,a3+b2=10,S3﹣T2=11,
可得3+2d+q=10,9+3d﹣(1+q)=11,
解得d=2,q=3,
则an=3+2(n﹣1)=2n+1,bn=33n﹣1=3n,n∈N*;
(Ⅱ)若数列{cn}满足c1=1,cn+1﹣cn=an=2n+1,
可得cn=c1+(c2﹣c1)+(c3﹣c2)+…+(cn﹣cn﹣1)=1+3+5+…+(2n﹣1)
n(1+2n﹣1)=n2,
则c100=1002=10000;
(Ⅲ)dn=anbn=(2n+1)3n,
Kn=33+532+733+…+(2n+1)3n,
3Kn=332+533+734+…+(2n+1)3n+1,
两式相减可得﹣2Kn=9+2(32+33+…+3n)﹣(2n+1)3n+1
=9+2(2n+1)3n+1,
化简可得Kn=n3n+1.
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【题目】
如图,长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.
(1)证明:BE⊥平面EB1C1;
(2)若AE=A1E,求二面角B–EC–C1的正弦值.
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【题目】下列命题中正确的有( )
①常数数列既是等差数列也是等比数列;②在中,若
,则
为直角三角形;③若
为锐角三角形的两个内角,则
;④若
为数列
的前
项和,则此数列的通项
.
A.①②B.②③C.③④D.①④
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【题目】已知点为圆
上的动点,点
在
轴上的投影为
,点
为线段AB的中点,设点
的轨迹为
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)已知直线与
交于
两点,
,若直线
的斜率之和为3,直线
是否恒过定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.
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【题目】已知关于的不等式
,其中
;
(1)试求不等式的解集;
(2)对于不等式的解集,记
(其中
为整数集),若集合
为有限集,求实数
的取值范围,使得集合
中元素个数最少,并用列举法表示集合
;
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【题目】已知,
是椭圆
的左、右焦点,椭圆
过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线
(不过坐标原点)与椭圆
交于
,
两点,且点
在
轴上方,点
在
轴下方,若
,求直线
的斜率.
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