Question

已知函数f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx-sin2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）需要把函数y=f（x）的图象经过怎样的变换才能得到函数g（x）=cosx的图象？
（3）在△ABC中，A、B、C分别为三边a、b、c所对的角，若a=

3

，f（A）=1，求b+c的最大值．

Answer 1

分析：将函数f（x）的解析式第一、三项结合，利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，合并后提取2，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
（1）找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函数的最小正周期，由正弦函数的递增区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的递增区间；
（2）把f（x）解析式变形后，先向右平移

π

12

单位，然后横纵坐标都变为原来的2倍，最后将函数图象向左平移

π

2

个单位，即可得到g（x）=cosx；
（3）由f（A）=1及确定出的f（x）的解析式，变形后利用特殊角的三角函数值求出A的度数，可得出cosA的值，再由a的值，利用余弦定理列出关系式，将a与cosA的值代入，利用完全平方公式变形后，再利用基本不等式即可求出b+c的最大值．

解答：解：f（x）=cos²x+2

3

sinxcosx-sin²x
=（cos²x-sin²x）+

3

（2sinxcosx）
=cos2x+

3

sin2x
=2sin（2x+

π

6

），
（1）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
又正弦函数的递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），
∴2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
则函数f（x）的最小正周期为π，单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（2）f（x）=2sin（2x+

π

6

）=2sin2（x+

π

12

），
先将f（x）向右平移

π

12

单位，得到y=2sin2x，然后横纵坐标都变为原来的2倍，得到y=sinx，
最后将函数图象向左平移

π

2

个单位，可得g（x）=cosx；
（3）∵f（A）=1，∴2sin（2A+

π

6

）=1，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
又A为三角形的内角，∴A=

π

3

，又a=

3

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：3=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
∴（b+c）²-3=3bc≤3•(

b+c

2

)2，当且仅当b=c时取等号，
∴

(b+c)2

4

≤3，即（b+c）²≤12，
∴0＜b+c≤2

3

，
则b+c的最大值为2

3

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，基本不等式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．