Question

若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得f（x-1）＜0的x的取值范围是（　　）

A．（-∞，-2）

B．（2，+∞）

C．（-1，3）

D．（-2，2）

Answer 1

分析：根据f（x）的奇偶性及在（-∞，0]上的单调性可得f（x）在（0，+∞）上的单调性，再根据特殊点可得f（x）的草图，根据图象可得不等式的解集．

解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上是减函数，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∵f（2）=0，∴f（-2）=-f（2）=0，
作出函数f（x）的草图如图所示：
由图象可知，f（x-1）＜0可化为-2＜x-1＜2，解得-1＜x＜3，即使f（x-1）＜0的x的取值范围为（-1，3），
故选C．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查不等式的求解，抽象不等式的求解往往借助函数的单调性化为具体不等式解决．