Question

将函数y=

-x2+4x

-

3

，x∈[1，3]的图象绕坐标原点逆时针旋转θ（θ为锐角）若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  π

  2

Answer 1

考点：函数的图象

专题：综合题,直线与圆

分析：求出曲线过原点的切线的斜率，可得切线的倾斜角为 30°．因此，可得要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，最大旋转角为 90°-30°=60°．

解答： 解：设y=

-x2+4x

-

3

，根据二次函数的单调性，可得函数在[1，2]上为增函数，在[2，3]上为减函数．
由函数y=

-x2+4x

-

3

，x∈[1，3]，可得图象所在圆心坐标为（2，0），
设曲线的切线的斜率为k，方程为y=kx，则圆心到直线的距离

|2k|

k2+1

=2
所以k=

3

3

，可得切线的倾斜角为 30°，
因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，
旋转θ后的切线倾斜角最多为 90°，
也就是说，最大旋转角为 90°-30°=60°，即θ的最大值为60°
故选：C．

点评：本题给出二次式作为被开方数的一个函数，将函数图象绕原点逆时针旋转θ后，所得曲线仍是一个函数的图象，求角θ的最大值，着重考查了函数的图象与图象变化等知识点，属于中档题．