Question

【题目】已知点，点A是直线上的动点，过作直线，，线段的垂直平分线与交于点.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若点，是直线上两个不同的点，且的内切圆方程为，直线的斜率为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据题意得到：点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以点F为焦点，直线为准线的抛物线，再利用抛物线的定义即可得到曲线的方程.

（2）首先设，点，点，求出直线的方程，根据圆心到直线的距离为，得到，同理得到，即是关于的方程的两根，再根据韦达定理得到，再求的范围即可.

（1）因为点，点是直线上的动点，

过作直线，，线段的垂直平分线与交于点，

所以点到点的距离等于它到直线的距离，

所以点的轨迹是以点F为焦点，直线为准线的抛物线，

所以曲线的方程为.

（2）设，点，点，

直线的方程为：，

化简得，

因为的内切圆的方程为，

所以圆心到直线的距离为，即，

整理得：，

由题意得，所以上式化简得，

同理，有.

所以是关于的方程的两根，

，.

所以，

因为，，

所以，

直线的斜率，则，

所以，

因为函数在单调递增，

所以，，

所以0.

即的取值范围是.