Question

【题目】已知函数,其中,.

(1)函数的图象能否与x轴相切?若能,求出实数a;若不能,请说明理由.

(2)若在处取得极大值,求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 答案见解析(2)

【解析】

（1）假设函数的图象与x轴相切于，根据相切可得方程组，看方程是否有解即可；（2）求出的导数，设()，根据函数的单调性及在处取得极大值求出a的范围即可.

(1)函数的图象不能与x轴相切,理由若下:

.假设函数的图象与x轴相切于

则即

显然,,代入中得,无实数解.

故函数的图象不能与x轴相切.

(2)()

,,

设(),

恒大于零.

在上单调递增.

又,,,

∴存在唯一,使,且

时,时,

①当时,恒成立,在单调递增,

无极值,不合题意.

②当时,可得当时,,当时,.

所以在内单调递减,在内单调递增,

所以在处取得极小值,不合题意.

③当时,可得当时,,当时,.

所以在内单调递增,在内单调递减,

所以在处取得极大值,符合题意.

此时由得即,

综上可知,实数a的取值范围为.