Question

【题目】设是一个由和构成的行列的数表，且中所有数字之和不小于，所有这样的数表构成的集合记为，记为的第行各数之和，为的第列各数之和，为、、，、、、、中的最大值.

（1）对如下数表，求的值；

（2）设数表，求的最小值；

（3）已知为正整数，对于所有的，，且的任意两行中最多有列各数之和为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）计算出、、、、、的值，根据题中定义可得出的值；

（2）由题意知，中所有数字之和的最小值为，则中至少有个，只有当每行或每列都放个，才能使得取到最小值，然后就某行某列分别放个、个、个，列举出其他行（或列）的个数，得出的最小值，于此得出；

（3）先计算出数表中的元素之和为，由题意定义得出，可得出，然后分别就、、、、时就的任意两行中数字之和为的列数进行分析，可得出的值.

（1）由题意可得，，

；

（2）由题意可得，中所有数字之和不小于，即至少有个.

而要使最小，则中只有个，此时如表排列.

下面利用来说明.

①当某行某列全都是时，则其他行（或列）的个数分别为：、、、，此时；

②当某行某列只放个时，则其他行（或列）的个数分别为：、、、，则；

③当某行过某列放个时，则其他行（或列）的个数分别为：、、、，此时.

由上可知，；

（3），中所有数字之和为，

由题意可得，解得.

①当时，每行中仅有列为，任意两行中至多有列和为，舍去；

②当时，每行中仅有列为，任意两行中至多有列和为，舍去；

③当时，如下表所示，每行中仅有列为，任意两行中至多有列和为，

合乎题意；

④当或时，不成立.

综上所述，.