Question

已知△ABC中，AB=2，AC=3，且4（sinBsinC-cosBcosC）=-1．
（1）求BC的长和△ABC的面积；
（2）求|2

AB

-

BC

|．

Answer 1

分析：（1）已知等式左边提取-1变形，利用两角和与差的余弦函数公式化简求出cosA的值，再由AB，AC的值，利用余弦定理即可求出BC的长，求出sinA的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可；
（2）利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入求出cosB的值，利用平面向量的数量积运算法则计算出

AB

•

BC

的值，所求式子利用二次根式的化简公式变形，拉头完全平方公式展开，计算即可得到结果．

解答：解：（1）∵4（sinBsinC-cosBcosC）=-4（cosBcosC-sinBsinC）=-4cos（B+C）=-1，
∴cosA=-cos（B+C）=-

1

4

，sinA=

1-cos2A

=

15

4

，
∵AB=c=2，AC=b=3，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即a²=9+4+3，
解得：a=4或a=-4（舍去），
∴BC=a=4，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×3×

15

4

=

3 15

4

；
（2）∵a=4，b=3，c=2，
∴由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

16+4-9

16

=

11

16

，
∴

AB

•

BC

=|

AB

|×|

BC

|×cosB=2×4×

11

16

=

11

8

，
∴|2

AB

-

BC

|=

(2 AB - BC )2

=

4 AB 2-4 AB • BC + BC 2

=

16-4× 11 8 +16

=

106

2

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及向量的模，数量掌握公式是解本题的关键．