Question

【题目】定义函数，数列满足，.

（1）若，求及；

（2）若且数列为周期函数，且最小正周期，求的值；

（3）是否存在，使得成等比数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，，理由见解析

【解析】

（1）对于分别取n＝1，2，an+1＝f（an），n∈N*．去掉绝对值符号即可得出；

（2）由已知可得，分三种情况讨论即可求值；

（3）假设存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等比数列，分类讨论当及当和时，分别利用递推关系及等比数列的定义，得出a1的取值范围．

（1），

∴a2＝f（a1）＝f（﹣30）＝，

a3＝f（a2）＝f（）＝．

（2）由已知可得，

由题意数列为周期函数，且最小正周期，

则当时，a2＝f（a1）＝；a3＝f（a2）＝f（）＝，

得到（舍）；

当时，a2＝f（a1）＝；a3＝f（a2）＝f（）＝，

得到（舍）；

当时，a2＝f（a1）＝；

a3＝f（a2）＝f（ f（a1））＝，

令a3＝a1，则

则a1＝

综上得到；

（3）假设存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等比数列．

①当时，a2＝f（a1）＝；a3＝f（a2）＝，

则公比为，∴a2＝，则，则满足题意；

②当a1时，则a2＝f（a1）＝，则必存在k使得，

若，由①知；

若，∴∴，则，，满足，满足公比为

综上可知：a1的取值范围为 [﹣2，+∞）．