Question

直线y=kx+1与双曲线x²-

y2

4

=1只有一个交点，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：联立直线方程和双曲线方程，化为关于x的方程，由二次项系数等于0、二次项系数不等于0且判别式等于0求解k的取值集合．

解答： 解：联立

y=kx+1 x2- y2 4 =1

，得：（4-k²）x²-2kx-5=0  ①．
当4-k²=0，即k=±2时，方程①化为一次方程4x=5或4x=-5，
方程有一个实数根，直线y=kx+1与双曲线x²-

y2

4

=1只有一个交点，
当4-k²≠0时，要使直线y=kx+1与双曲线x²-

y2

4

=1只有一个交点，
则

4-k2≠0 (-2k)2+20(4-k2)=0

，解得：k=±

5

．
∴使直线y=kx+1与双曲线x²-

y2

4

=1只有一个交点的k的取值集合是{-2，2，-

5

，

5

}．
故答案为：{-2，2，-

5

，

5

}．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用二次方程的判别式讨论方程根的个数，是中档题．