Question

已知点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x-4y+10=0的两侧，则下列说法中正确的是（　　）
①3a-4b+10＞0
②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值
③

a2+b2

＞2
④当a＞0且a≠1时，

b

a-1

的取值范围为（-∞，-

5

2

）∪（

3

4

，+∞）

• A、①③
• B、③④
• C、②④
• D、②③

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,直线的斜率

专题：不等式的解法及应用

分析：根据点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x-4y+10=0的两侧，可以画出点A（a，b）所在的平面区域，进而结合二元一次不等式的几何意义，两点之间距离公式的几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义，逐一分析四个答案．可得结论．

解答： 解：∵点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x-4y+10=0的两侧，
故点A（a，b）在如图所示的平面区域内
故3a-4b+10＜0，即①错误；
当a＞0时，a+b＞

5

2

，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；
设原点到直线3x-4y+10=0的距离为d，则d=

10

32+(-4)2

=2，则

a2+b2

＞d=2，故③正确；
当a＞0且a≠1，b＞0时，

b

a-1

表示点A（a，b）与B（1，0）连线的斜率，
∵当a=0，b=

5

2

时，

b

a-1

=-

5

2

，又∵直线3x-4y+10=0的斜率为

3

4

，
故

b

a-1

的取值范围为（-∞，-

5

2

）∪（

3

4

，+∞），故④正确；
故答案为：③④．

点评：本题考查了线性规划问题、直线的斜率计算公式及其单调性，考查了问题的转化能力和推理能力，属于中档题．