Question

已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）设F（x）=ax²+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求得函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的最小值．
（2）分类讨论，利用导数的正负，即可得到函数F（x）的单调性．

解答： 解：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f′（x）=1+lnx
令f′（x）=1+lnx=0，可得x=

1

e

∴0＜x＜

1

e

时，f′（x）＜0，x＞

1

e

时，f′（x）＞0
∴x=

1

e

时，函数取得极小值，也是函数的最小值
∴f（x）_min=f（

1

e

）=

1

e

•ln

1

e

=-

1

e

．
（2）F（x）=ax²+lnx+1（x＞0），F′（x）=

2ax2+1

x

（x＞0）．
①当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＜0时，令F′（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得0＜x＜

- 1 2a

；
令F′（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得x＞

- 1 2a

．
综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，F（x）在（0，

- 1 2a

）上单调递增，在（

- 1 2a

，+∞）上单调递减．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．