Question

（选修4-4：不等式选讲）已知关于x的不等式：|2x-m|≤1的整数解有且仅有一个值为2．
（1）求整数m的值；
（2）在（1）的条件下，解不等式：|x-1|+|x-3|≥m．

Answer 1

分析：（1）已知关于x的不等式：|2x-m|≤1，化简为 

m-1

2

≤x≤

m+1

2

，再利用不等式整数解有且仅有一个值为2，求出m的值．
（2）可以分类讨论，根据讨论去掉绝对值，然后求解．

解答：解：（1）由不等式|2x-m|≤1，可得

m-1

2

≤x≤

m+1

2

，∵不等式的整数解为2，
∴

m-1

2

≤2≤

m+1

2

，解得 3≤m≤5．
再由不等式仅有一个整数解2，∴m=4．
（2）本题即解不等式|x-1|+|x-3|≥4，
当x≤1时，不等式等价于 1-x+3-x≥4，解得 x≤0，不等式解集为{x|x≤0}．
当1＜x≤3时，不等式为 x-1+3-x≥4，解得x∈∅，不等式解为∅．
当x＞3时，x-1+x-3≥4，解得x≥4，不等式解集为{x|x≥4}．
综上，不等式解为（-∞，0]∪[4，+∞）．

点评：此题考查绝对值不等式的性质及其解法，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意进行分类讨论，解题的关键是去掉绝对值，属于中档题．