Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，左右顶点分别为，，上顶点为，

（1）求椭圆离心率；

（2）点到直线的距离为，求椭圆方程；

（3）在（2）的条件下，点在椭圆上且异于、两点，直线与直线交于点，说明运动时以为直径的圆与直线的位置关系，并证明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）相切，证明见解析

【解析】

（1）由已知根据椭圆的定义可得，从而可得即可求解.

（2）利用点斜式求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式可得，结合即可求解.

（3）设直线，将直线与椭圆联立，利用韦达定理求出点坐标，再求出圆心，分类讨论或，求出直线的方程， 再利用点到直线的距离与半径作比较即可证出.

（1）由已知，

（2），直线，

即

则点到直线的距离，

解为，，椭圆方程为

（3）以为直径的圆与直线相切，

证明：直线

交点为

得，

，

，，点，中点圆心

当时，点，直线，圆心，半径1，与直线相切；

当时，，

点到直线的距离为半径，得证.