Question

【题目】如图，在等腰梯形中，，，，E，F分别为，边的中点.现将沿着折叠到的位置，使得平面平面.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）在等腰梯形中，，，，E，F分别为、边的中点，易证为等边三角形，，根据平面平面

易证平面，再由平面，故平面平面.

（2）取的中点O，易证平面，再证明，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的法向量和平面的法向量，再求这两个法向量夹角余弦值的绝对值，结合观察图形，可求二面角的余弦值.

解：（1）证明：如图，连接，

∵E为的中点，故且，

故四边形为平行四边形，，

所以为等边三角形. 同理可证为等边三角形，

所以为等边三角形，

∵在等腰梯形中，，，

为等边三角形，F为的中点，

故，即．

又∵平面平面，且平面平面，

故平面. 又∵平面，

故平面平面.

（2）取的中点O，连接，，

∵，∴.

又∵平面平面，且平面平面，

∴平面，为等边三角形，故.

如图，以O为坐标原点，为x轴，为y轴，

为z轴建立空间直角坐标系．

，，，

，.

设平面的法向量为

故解得．

设平面的法向量为，

则，

∵为锐二面角，

故二面角的余弦值为.