【题目】已知数列、
满足:
,
,
,
.
(1)求,
,
,
;
(2)求证:数列是等差数列,并求
的通项公式;
(3)设,若不等式
对任意
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1),
,
,
(2)证明见解析,
(
)(3)
【解析】
(1)根据已知条件求得与
的递推关系式,由此先求出
,进而依次求得
的值.
(2)由(1)中求得的与
的递推关系式,利用配凑法证得数列
是等差数列,由此求得数列
的通项公式,进而求得数列
的通项公式.
(3)由(2)求得数列的通项公式,利用裂项求和法求得
.
解法一:利用分离常数法化简不等式,得到
,利用数列的单调性证得
,由此求得
的取值范围.
解法二:通过差比较法,化简,对
分类讨论,结合二次函数的性质求得
的取值范围.
(1)由于,所以
,
因为,所以,
,
,
,
.
(2),
,
所以,,
所以,数列是以
为首项,
为公差的等差数列.
所以,,
(
).
(3)因为,从而
,
所以,
,
解法一:
所以,不等式化为
,
即当
时恒成立,
令,
则随着
的增大而减小,且
恒成立.
故,所以,实数
的取值范围是
.
解法二:
,
若不等式对任意
恒成立,则当且仅当
对任意
恒成立.
设,由题意,
,
当时,
恒成立;
当时,函数
图像的对称轴为
,
在
上单调递减,即
在
上单调递减,故只需
即可,
由,得
,所以当
时,
对
恒成立.
综上所述,实数的取值范围是
.
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【题目】已知.
(1)当时,解不等式
;
(2)若关于的方程
的解集中恰好有一个元素,求实数
的值;
(3)设,若对任意
,函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过
,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志,为美观考虑,要求图中标记的①、②、③)三个区域面积彼此相等.(已知:椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆面积为
)
(1)求椭圆的离心率的值;
(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合适的坐标系,求出点M的轨迹方程.
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【题目】已知椭圆:
的中心为
,一个方向向量为
的直线
与
只有一个公共点
(1)若且点
在第二象限,求点
的坐标;
(2)若经过的直线
与
垂直,求证:点
到直线
的距离
;
(3)若点、
在椭圆上,记直线
的斜率为
,且
为直线
的一个法向量,且
求
的值.
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【题目】已知正项数列,
满足:对任意正整数
,都有
,
,
成等差数列,
,
,
成等比数列,且
,
.
(Ⅰ)求证:数列是等差数列;
(Ⅱ)求数列,
的通项公式;
(Ⅲ)设=
+
+…+
,如果对任意的正整数
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知函数的周期为
,图象的一个对称中心为
.将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象.
(1)求函数与
的解析式.
(2)定义:当函数取得最值时,函数图象上对应的点称为函数的最值点,如果函数的图象上至少有一个最大值点和一个最小值点在圆
的内部或圆周上,求k的取值范围.
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【题目】将函数的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象,
分别是
的极值点,且有
,则函数
( )
A.在区间上单调递增B.在区间
上单调递增
C.在区间上单调递减D.在区间
上单调递减
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【题目】已知椭圆经过点
离心率
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)经过椭圆左焦点的直线(不经过点
且不与
轴重合)与椭圆交于
两点,与直线
:
交于点
,记直线
的斜率分别为
.则是否存在常数
,使得向量
共线?若存在求出
的值;若不存在,说明理由.
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