【题目】已知椭圆:
的中心为
,一个方向向量为
的直线
与
只有一个公共点
(1)若且点
在第二象限,求点
的坐标;
(2)若经过的直线
与
垂直,求证:点
到直线
的距离
;
(3)若点、
在椭圆上,记直线
的斜率为
,且
为直线
的一个法向量,且
求
的值.
【答案】(1)(2)见解析(3)9
【解析】
(1)设直线的方程为
,代入椭圆方程
,可得
的方程,运用直线和椭圆只有一个公共点
,可得
,化简整理,解方程可得
的坐标;
(2)设直线,运用(1)求得
到直线
的距离公式,再由基本不等式可得最大值,即可得证;
(3)直线的方程为
,代入椭圆方程
,可得交点
,求得
,同样将直线
代入椭圆方程求得
的坐标,可得
,化简整理即可得到所求值.
解:(1)设直线的方程为
,代入椭圆方程
,
可得,
直线与
只有一个公共点
,可得
,
即有,
化简可得,
由可得
,
由点在第二象限,可得
,
即为;
(2)证明:设直线,
由(1)可得,
,
则点到直线
的距离
,
当且仅当时,取得等号;
(3)由题意可得直线的方程为
,
代入椭圆方程,可得
,
即有,
,
即有,
将直线的方程
,代入椭圆方程可得,
,
,
即有,
则.
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【题目】已知数列与
满足
,
.
(1)若,求数列
的通项公式;
(2)若,且数列
是公比等于2的等比数列,求
的值,使数列
也是等比数列;
(3)若,且
,数列
有最大值
与最小值
,求
的取值范围.
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【题目】
(本题满分15分)已知m>1,直线,
椭圆,
分别为椭圆
的左、右焦点.
(Ⅰ)当直线过右焦点
时,求直线
的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
交于
两点,
,
的重心分别为
.若原点
在以线段
为直径的圆内,求实数
的取值范围.
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【题目】已知数列和
满足:
,
,
且对一切
,均有
.
(1)求证:数列为等差数列,并求数列
的通项公式;
(2)求数列的前
项和
;
(3)设,记数列
的前
项和为
,求正整数
,使得对任意
,均有
.
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【题目】如图,等腰梯形中,
,
,E为CD中点,将
沿AE折到
的位置.
(1)证明:;
(2)当折叠过程中所得四棱锥体积取最大值时,求直线
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】高铁是我国国家名片之一,高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示,B、E、F为山脚两侧共线的三点,在山顶A处测得这三点的俯角分别为、
、
,计划沿直线BF开通穿山隧道,现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.
(1)求出线段AE的长度;
(2)求出隧道CD的长度.
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【题目】等差数列首项和公差都是
,记
的前n项和为
,等比数列
各项均为正数,公比为q,记
的前n项和为
:
(1)写出构成的集合A;
(2)若将中的整数项按从小到大的顺序构成数列
,求
的一个通项公式;
(3)若q为正整数,问是否存在大于1的正整数k,使得同时为(1)中集合A的元素?若存在,写出所有符合条件的
的通项公式,若不存在,请说明理由.
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