Question

已知函数f（x）

x+ 1 x ，x＞0 x3+3，x≤0

，则方程f（2x²+x）=a（a＞2）的根的个数可能为

 

（将正确命题的序号全部填入）
①1个     ②2个     ③3个     ④4个     ⑤5 个    ⑥6个．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：作图题,函数的性质及应用

分析：先画出函数f（x）=

x+ 1 x ，x＞0 x3+3，x≤0

的图象，然后令t=2x²+x，讨论a的范围，得到y=a与y=f（t）的图象交点的个数，再结合交点的值讨论t=2x²+x的解得个数，即可求出方程f（2x²+x）=a（a＞2）的根的个数可能．

解答： 解：画出函数f（x）=

x+ 1 x ，x＞0 x3+3，x≤0

的图象如右图，
令t=2x²+x，
当2＜a≤3时，y=a与y=f（t）的图象有三个交点，三个交点的横坐标记为t₁，t₂，t₃且t₁≤0＜t₂＜t₃，
当2x²+x=t₂时，该方程有两解，2x²+x=t₃时，该方程也有两解，2x²+x=t₁时，该方程有0个解或1个解或2个解，
∴当2＜a≤3时，方程f（2x²+x）=a的根的个数可能为4个，5个，6个；
当a＞3时，y=a与y=f（t）的图象有两个交点，两个交点的横坐标记为t₄，t₅且0＜t₄＜t₅，
当2x²+x=t₄时，该方程有两解，2x²+x=t₅时，该方程也有两解，
∴当a＞3时，方程f（2x²+x）=a的根的个数为4个；
综上所述：方程f（2x²+x）=a（a＞2）的根的个数可能为4个，5个，6个．
故答案为：④⑤⑥．

点评：本题考查了根的存在性及根的个数的判断，以及符号函数的性质，同时考查了作图的能力，分析问题的能力和转化的思想以及分类讨论的思想．属于中档题．