Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1与时，都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若，求f（x）的单调区间和极值；
（3）若对x∈[﹣1，2]都有恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x²+2a x+b．
由题设，∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1与时，都取得极值．
∴x=1，x=﹣为f′（x）=0的解．
∴﹣a=1﹣，=1×（﹣）．
解得a=﹣，b=﹣2
此时，f′（x）=3x²﹣x﹣2=（x﹣1）（x+），
x=1与都是极值点．
（2）f （x）=x³﹣x²﹣2 x+c，由f （﹣1）=﹣1﹣+2+c=，
∴c=1．
∴f （x）=x³﹣x²﹣2 x+1．

当x=﹣时，f （x）有极大值，f （﹣）=；
当x=1时，f （x）有极小值，f （1）=﹣
（3）由（1）得，f′（x）=（x﹣1）（3x+2），f （x）=x³﹣x²﹣2 x+c，
f （x）在[﹣1，﹣）及（1，2]上递增，在（﹣，1）递减．
而f （﹣）=﹣﹣++c=c+，f （2）=8﹣2﹣4+c=c+2．
∴f （x）在[﹣1，2]上的最大值为c+2．
∴
∴
∴或
∴0＜c＜1或c＜﹣3