Question

已知函数f(x)=2sin(2x-

π

4

)-1
（1）求函数的最小正周期，单调减区间，对称中心；   
（2）求解不等式f（x）≥0．

Answer 1

分析：（1）利用正弦函数的性质，可求得f（x）=2sin（2x-

π

4

）-1的最小正周期，单调减区间及对称中心；
（2）由2sin（2x-

π

4

）-1≥0得sin（2x-

π

4

）≥

1

2

，利用正弦函数的性质可求得不等式f（x）≥0的解集．

解答：解：（1）∵f（x）=2sin（2x-

π

4

）-1，
∴函数的最小正周期T=

2π

2

=π，
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得：

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）=2sin（2x-

π

4

）-1的单调减区间为[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ]（k∈Z）；
由2x-

π

4

=kπ（k∈Z）得x=

π

8

+

π

2

k（k∈Z），
∴其对称中心为（

π

8

+

π

2

k，-1），k∈Z．
（2）由2sin（2x-

π

4

）-1≥0得：
sin（2x-

π

4

）≥

1

2

，
∴2kπ+

π

6

≤2x-

π

4

≤2kπ+

5π

6

，k∈Z．
解得kπ+

5π

24

≤x≤kπ+

13π

24

，k∈Z．
∴不等式解集{x|kπ+

5π

24

≤x≤

13π

24

+kπ，k∈Z}．

点评：本题考查正弦函数的图象与性质，着重考查其周期性、单调性、对称性及最值，属于中档题．