Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=-an-(

1

2

)n-1+2(n∈N*)，数列{b_n}满足bn=2nan，
（1）求证数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{

n+1

n

an}的前n项和为T_n，证明：n∈N^*且n≥3时Tn＞

5n

2n+1

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”及其等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用错位相减法求和，即可证明结论．

解答： 证明：（1）a1=

1

2

，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
∴2an=an-1+(

1

2

)n-1，即2nan=2n-1an-1+1，
∴b_n=b_n-1+1，又b₁=2a₁=1，
∴{b_n}是首项和公差均为1的等差数列．
∴bn=n=2nan，∴an=

n

2n

（2）由（1）得

n+1

n

an=(n+1)(

1

2

)n，
∵T_n=2×

1

2

+3×（

1

2

）²+…+（n+1）（

1

2

）ⁿ，
∴

1

2

T_n=2×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+…+（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴

1

2

T_n=2-

n+5

2n+1

，
∴T_n=4-

n+5

2n

，
证明n∈N^*且n≥3时，4-

n+5

2n

＞

5n

2n+1

n=3时，左边=8，右边=

15

7

；
设n=k时，结论成立，即4-

k+5

2k

＞

5k

2k+1

．
则n=k+1时，4-

k+6

2k+1

＞

5k

2k+1

+

k+5

2k

-

k+6

2k+1

＞

5(k+1)

2k+3

∴n=k+1时，结论成立
综上，n∈N^*且n≥3时Tn＞

5n

2n+1

．

点评：本题综合考查了“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”及其等差数列的通项公式、“错位相减法”等基础知识与基本方法，正确求通项与数列的和是关键．