Question

（2014•达州一模）设函数f（x）=x²（e^x-1）+ax³
（1）当a=-

1

3

时，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域然后求出函数的导涵数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间，
（2）由于f（x）=x²（e^x-1）+ax³=x²（e^x-1+ax），令g（x）=e^x-1+axx∈[0，+∞），求其导数g′（x）=e^x+a，下面就a的值分类讨论，利用导数工具研究函数的单调性和最值，即可得a的取值范围．

解答：解：（1）当a=-

1

3

时，f(x)=x2(ex-1)-

1

3

x3f′（x）=2x（e^x-1）+x²e^x-x²=（2x+x²）（e^x-1）
令f′（x）＞0，得x＞0或-2＜x＜0；令f′（x）＜0，得x＜-2∴f（x）的单调递增区间为（-2，0），（0，+∞）f（x）的单调递减区间为（-∞，-2）…（4分）
（2）f（x）=x²（e^x-1）+ax³=x²（e^x-1+ax）
令g（x）=e^x-1+axx∈[0，+∞）g′（x）=e^x+a
当a≥-1时，g′（x）=e^x+a＞0，g（x）在[0，+∞）上为增函数．
而g（0）=0，从而当x≥0时，g（x）≥0，即f（x）≥0恒成立．
若当a＜-1时，令g′（x）=e^x+a=0，得x=ln（-a）
当x∈（0，ln（-a））时，g′（x）＜0，g（x）在（0，ln（-a））上是减函数，
而g（0）=0，从而当x∈（0，ln（-a））时，g（x）＜0，即f（x）＜0
综上可得a的取值范围为[-1，+∞）．…（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的最值，以及函数单调区间等有关基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．