Question

对于定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数c，使得对任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c，且对任意x₂∈D，当x₂∉[a，b]时，f（x₂）＞c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平底型”函数．
（1）判断f₁（x）=|x-1|+|x-2|和f₂（x）=x+|x-2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（2）若函数是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，求m和n的值．

Answer 1

解：（1）对于函数f₁（x）=|x-1|+|x-2|，当x∈[1，2]时，f₁（x）=1．
当x＜1或x＞2时，f₁（x）＞|（x-1）-（x-2）|=1恒成立，故f₁（x）是“平底型”函数．
对于函数f₂（x）=x+|x-2|，当x∈（-∞，2]时，f₂（x）=2；当x∈（2，+∞）时，
f₂（x）=2x-2＞2．
所以不存在闭区间[a，b]，使当x∉[a，b]时，f（x）＞2恒成立．
故f₂（x）不是“平底型”函数；
（2）由“平底型”函数定义知，存在闭区间[a，b]⊆[-2，+∞）和常数c，使得对任意的x∈[a，b]，
都有g（x）=mx+=c，即=c-mx
所以x²+2x+n=（c-mx）²恒成立，即x²+2x+n=m²x²-2cmx+c²对任意的x∈[a，b]成立…（13分）
所以，所以或…（14分）
①当时，g（x）=x+|x+1|．
当x∈[-2，-1]时，g（x）=-1，当x∈（-1，+∞）时，g（x）=2x+1＞-1恒成立．
此时，g（x）是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数…（16分）
②当时，g（x）=-x+|x+1|．
当x∈[-2，-1]时，g（x）=-2x-1≥1，当x∈（-1，+∞）时，g（x）=1．
此时，g（x）不是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数．（12分）
综上分析，m=1，n=1为所求…（18分）
分析：（1）对于函数f₁（x）=|x-1|+|x-2|，欲判断其是否是“平底型”函数，只须什么f₁（x）＞1是否恒成立，对于函数f₂（x）=x+|x-2|，当x∈（-∞，2]时，f₂（x）=2；当x∈（2，+∞）时，f₂（x）=2x-2＞2，故可得结论；
（2）函数g（x）=mx+是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，等价于x²+2x+n=m²x²-2cmx+c²对任意的x∈[a，b]成立，利用恒等关系，可得到关于m，n，c的方程，解出它们的值，最后通过验证g（x）是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数即可解决问题．
点评：本题考查新定义，考查函数恒成立问题，考查函数的最值，解题的关键是利用恒成立结论等式，从而可得参数的值，属于难题．