Question

已知各项均为正数的两个数列{a_n}和{b_n}满足：a_n+1=，n∈N^*，
（1）设b_n+1=1+，n∈N*，，求证：数列是等差数列；
（2）设b_n+1=•，n∈N*，且{a_n}是等比数列，求a₁和b₁的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得，a_n+1===，从而可得，可证
（2）由基本不等式可得，，由{a_n}是等比数列利用反证法可证明q==1，进而可求a₁，b₁
解答：解：（1）由题意可知，a_n+1===
∴
从而数列{}是以1为公差的等差数列
（2）∵a_n＞0，b_n＞0
∴
从而（*）
设等比数列{a_n}的公比为q，由a_n＞0可知q＞0
下证q=1
若q＞1，则，故当时，与（*）矛盾
0＜q＜1，则，故当时，与（*）矛盾
综上可得q=1，a_n=a₁，
所以，
∵
∴数列{b_n}是公比的等比数列
若，则，于是b₁＜b₂＜b₃
又由可得
∴b₁，b₂，b₃至少有两项相同，矛盾
∴，从而=
∴
点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用，解题的关键是反证法的应用．