Question

设函数f(x)=-

1

3

x3+x2+(m2-1)x．
（1）当方程f（x）=0只有一个实数解时，求实数m的取值范围；
（2）若m＞0且当x∈[1-m，3]时，恒有f（x）≤0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将f（x）提取公因式x，要使方程f（x）=0只有一个实数解时，令f（x）的另一个因式的判别式小于0，求出m的范围．
（2）将问题转化为求y=f（x）在∈[1-m，3]的最大值问题，求出f（x）的导函数，令导函数大于0，求出单调递增区间，通过对3与1+m的大小的讨论，求出f（x）的最大值，令最大值小于等于0，求出m的范围．

解答：解：（1）f(x)=-

1

3

x3+x2+(m2-1)x=x[-

1

3

x2+x+(m2-1)]
方程f（x）=0只有一个实数解，-

1

3

x2+x+(m2-1)=0没有实数解．
∴△=1+

4

3

(m2 -1)＜0，解得-

1

2

＜m＜

1

2

．
所以，当方程f（x）=0只有一个实数解时，实数m的取值范围是(-

1

2

，

1

2

)
（2）由f′（x）=-x²+2x+m²-1=-（x-m-1）（x+m-1）
因为m＞0所以1+m＞1-m
f（x）在（-∞，1-m）和（1+m，+∞）内单调递减，
在（1-m，1+m）内单调递增．
（1）当3＜1+m，即m＞2时，f（x）在区间[1-m，3]上是增函数，
f（x）_max=f（3）=3m²-3
∴

m＞2 3m2-3≤0

无解．
（2）当1+m≤3，即0＜m≤2时，f（x）在区间[1-m，1+m]上是增函数，在（1+m，+∞）上是减函数，
∴f(x)max=f(1+m)=

2

3

m3+m2-

1

3

∴

0＜m≤2 2 3 m3+m2- 1 3 ≤ 0

解得0＜m≤

1

2

综上所述，m的取值范围为(0，

1

2

]

点评：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值，本题第二小题是一个恒成立的问题，恒成立的问题一般转化最值问题来求解，本题即转化为用单调性求函数在闭区间上的最值的问题，求出最值再判断出参数的取值．本题运算量过大，解题时要认真严谨，避免变形运算失误，导致解题失败．