Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x{\;}^2}}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，点P（4，0），过右焦点F作与y轴不垂直的直线l交椭圆C于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）求证：以坐标原点O为圆心与PA相切的圆，必与直线PB相切．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆方程，求得a和c的值，即可求得椭圆的离心率；
（2）分类讨论，当直线斜率存在时，设直线方程，利用韦达定理及直线的斜率公式可知k_PA+k_PB=0，即可证明以坐标原点O为圆心与PA相切的圆，必与直线PB相切．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
则椭圆的离心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴椭圆C的离心率$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）证明：由c=1，则焦点F（1，0），当直线l的斜率不存在时，直线l的方程x=1，
A，B两点关于x轴对称，则P（4，0）在x轴上，
∴直线PA与直线PB关于x轴对称，
∴点O到直线PA的距离与到PB的距离相等，
∴以坐标原点O为圆心与PA相切的圆，必与直线PB相切，
当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
由k_PA=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-4}$=$\frac{k（{x}_{1}-1）}{{x}_{1}-4}$，k_PB=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$=$\frac{k（{x}_{2}-1）}{3+4{k}^{2}}$，
则k_PA+k_PB=$\frac{k（{x}_{1}-1）}{{x}_{1}-4}$+$\frac{k（{x}_{2}-1）}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{k[2{x}_{1}{x}_{2}-5（{x}_{1}+{x}_{2}）+8]}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$=$\frac{k（\frac{8{k}^{2}-24}{3+4{k}^{2}}-\frac{40{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+8）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$=0，
∴∠APO=∠BPO，则点O到直线PA和直线PB的距离相等，
∴以坐标原点O为圆心与PA相切的圆，必与直线PB相切．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．