Question

【题目】（1）已知a，b，N都是正数，a≠1，b≠1，证明对数换底公式：logaN＝；

（2）写出对数换底公式的一个性质（不用证明），并举例应用这个性质．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）设且，化为指数式，两边取对数可得，化简代入即可得出结果；（2）或.

（1）设logaN＝x，则N＝ax．

两边同时取b为底对数，得logbN＝logbax．

由对数运算性质，得logbN＝xlogba．

因为a≠1，所以logba≠0，所以x＝，于是logaN＝．

或者：因为alogaN＝N，两边同时取b为底对数，得logbalogaN＝logbN．

由对数运算性质，得logaNlogba＝logbN．

因为a≠1，所以logba≠0，所以logaN＝．

（2）对数换底公式性质（i）：logaNlogba＝logbN．

例如log23log38＝log28＝3．

对数换底公式性质（ii）：logablogba＝1．

例如＋＝log102＋log105＝log1010＝1．

对数换底公式性质（iii）：logNn＝logaN．

例如log2781＝log34＝log33＝．