Question

【题目】已知定直线，定点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点且与相切.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）椭圆的弦的中点分别为，若平行于，则斜率之和是否为定值？ 若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）斜率之和为定值

【解析】试题分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，由题意构建关于的方程组，即可得椭圆方程．

（Ⅱ）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），可知PQ∥MN，所以kPQ=kMN=1，

设直线PQ的方程为y=x+t，代入椭圆方程并化简得：3x2+4tx+2t2﹣6=0，利用韦达定理可计算

试题解析：

（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

椭圆过点，所以①，

将代入椭圆方程化简得： ，

因为直线与椭圆相切，所以②，

解①②可得， ，所以椭圆方程为；

（Ⅱ）设点，则有，

由题意可知，所以，设直线的方程为，

代入椭圆方程并化简得：

由题意可知③

，

通分后可变形得到

将③式代入分子

，

所以斜率之和为定值.