试题分析:法一:几何法,
(Ⅰ)过D作DF⊥AC,垂足为F,由平面ABC⊥平面ACD,由面面垂直的性质,可得DF是四面体ABCD的面ABC上的高;设G为边CD的中点,可得AG⊥CD,计算可得AG与DF的长,进而可得S
△ABC,由棱锥体积公式,计算可得答案;
(Ⅱ)过F作FE⊥AB,垂足为E,连接DE,分析可得∠DEF为二面角C﹣AB﹣D的平面角,计算可得EF的长,由(Ⅰ)中DF的值,结合正切的定义,可得答案.
法二:向量法,
(Ⅰ)首先建立坐标系,根据题意,设O是AC的中点,过O作OH⊥AC,交AB与H,过O作OM⊥AC,交AD与M;易知OH⊥OM,因此可以以O为原点,以射线OH、OC、OM为x轴、y轴、z轴,建立空间坐标系O﹣XYZ,进而可得B、D的坐标;从而可得△ACD边AC的高即棱住的高与底面的面积,计算可得答案;
(Ⅱ)设非零向量
=(l,m,n)是平面ABD的法向量,由(Ⅰ)易得向量
的坐标,同时易得
=(0,0,1)是平面ABC的法向量,由向量的夹角公式可得从而cos<
,
>,进而由同角三角函数的基本关系,可得tan<
,
>,即可得答案.
解:法一
(Ⅰ)如图:过D作DF⊥AC,垂足为F,由平面ABC⊥平面ACD,
可得DF⊥平面ABC,即DF是四面体ABCD的面ABC上的高;
设G为边CD的中点,由AC=AD,可得AG⊥CD,
则AG=
=
=
;
由S
△ADC=
AC•DF=
CD•AG可得,DF=
=
;
在Rt△ABC中,AB=
=
,
S
△ABC=
AB•BC=
;
故四面体的体积V=
×S
△ABC×DF=
;
(Ⅱ)如图,过F作FE⊥AB,垂足为E,连接DE,
由(Ⅰ)知DF⊥平面ABC,由三垂线定理可得DE⊥AB,故∠DEF为二面角C﹣AB﹣D的平面角,
在Rt△AFD中,AF=
=
=
;
在Rt△ABC中,EF∥BC,从而
,可得EF=
;
在Rt△DEF中,tan∠DEF=
=
.
则二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为
.
解法二:(Ⅰ)如图(2)
设O是AC的中点,过O作OH⊥AB,交AB与H,过O作OM⊥AC,交AD与M;
由平面ABC⊥平面ACD,知OH⊥OM,
因此以O为原点,以射线OH、OC、OM为x轴、y轴、z轴,建立空间坐标系O﹣XYZ,
已知AC=2,故A、C的坐标分别为A(0,﹣1,0),C(0,1,0);
设点B的坐标为(x
1,y
1,0),由
⊥
,|
|=1;
有
,
解可得
或
(舍);
即B的坐标为(
,
,0),
又舍D的坐标为(0,y
2,z
2),
由|
|=1,|
|=2,有(y
2﹣1)
2+z
22=1且(y
2+1)
2+z
22=1;
解可得
或
(舍),
则D的坐标为(0,
,
),
从而可得△ACD边AC的高为h=|z
2|=
又|
|=
,|
|=1;
故四面体的体积V=
×
×|
|×|
|h=
;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
=(
,
,0),
=(0,
,
),
设非零向量
=(l,m,n)是平面ABD的法向量,则由
⊥
可得,
l+
m=0,(1);
由
⊥
可得,
m+
n=0,(2);
取m=﹣1,由(1)(2)可得,l=
,n=
,即
=(
,﹣1,
)
显然
=(0,0,1)是平面ABC的法向量,
从而cos<
,
>=
;
故tan<
,
>=
;
则二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为
.
点评:本题是立体几何综合题目,此类题目一般有两种思路即几何法与向量法,注意把握两种思路的特点,进行选择性的运用.