Question

在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．

（1）分别计算，和，的值；

（2）求数列的通项公式（将用表示）；

（3）设数列的前项和为，证明：，．

Answer 1

在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．

（1）分别计算，和，的值；

（2）求数列的通项公式（将用表示）；

（3）设数列的前项和为，证明：，．

解：（1）由已知，得，，，　.   

（2）（证法1），，，……；

，，，…….∴猜想,，，

以下用数学归纳法证明之．

①当时，，，猜想成立；

②假设时，猜想成立，即,，那么

∴时，猜想也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的，猜想成立．

∴当为奇数时，；

     当为偶数时，．

    即数列的通项公式为． 

(3)（解法2）证明：

当为奇数时，

     当为偶数时，．

综上，

（解法2）由（2），得．

以下用数学归纳法证明，．

①当时，；

当时，．∴时，不等式成立．

②假设时，不等式成立，即，

那么，当为奇数时，

；

当为偶数时，

               ．∴时，不等式也成立．

综上所述：