Question

已知椭圆经过点，过右焦点F且不与x轴重合的动直线L交椭圆于两点，当动直线L的斜率为2时，坐标原点O到L的距离为． (Ⅰ) 求椭圆的方程；

(Ⅱ) 过F的另一直线交椭圆于两点，且，当四边形的面积S=时，求直线L的方程．

Answer 1

.【解析】(Ⅰ)设F(c,0)，则直线L的方程为2x-y-2c=0，∵坐标原点O到L的距离为，

∴，c=1。………………………………………………………2分

∵椭圆经过点,∴,b=1,由得。

∴椭圆的方程为    ……………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，直线L过点F(1,0)，设其方程为y=k(x-1)（），点A()，C（），

解得，。

∴，……………………………………………6分

=……………………………8分

∵过F的另一直线交椭圆于两点，且， ，

∴直线BD的方程为y=(x-1) 。

把式中k换成，类比可得，…………………………10分

∴四边形的面积， 解得，

 ∴直线L的方程为x-y-1=0或x+y-1=0 。   ………………………12分