Question

10．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{3{y}^{2}}{4}=1$
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{4{y}^{2}}{3}=1$
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{8}=1$
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$

Answer 1

分析 以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x²+y²=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±$\frac{b}{2}$x，利用矩形ABCD的面积为2b，求出A的坐标，代入圆的方程，求得b，即可得出双曲线的方程．

解答 解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x²+y²=4，
双曲线的两条渐近线方程为y=±$\frac{b}{2}$x，
设A（x，$\frac{b}{2}$x），x＞0，
∵四边形ABCD的面积为2b，
∴由对称性可得2x•bx=2b，
∴x=±1，
将A（1，$\frac{b}{2}$）代入x²+y²=4，可得1+$\frac{{b}^{2}}{4}$=4，
∴b²=12，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，注意运用对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．