Question

18．设向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{1}{2}$），函数f（x）=（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用向量数量积公式化简函数，结合正弦函数的单调增区间，可得f（x）的单调增区间；
（2）求出（2x-$\frac{π}{6}$）的范围，从而确定f（x）的范围，化简函数，可得函数的值域．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{1}{2}$），
∴f（x）=（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$=（sinx+$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{3}{2}$）•（sinx，-1）
=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcos+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）+2
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
解得：kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
故函数的递增区间是[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]；
（2）∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴2x-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
故sin（2x-$\frac{π}{6}$）的最大值是1，sin（2x-$\frac{π}{6}$）＞sin（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
故函数的最大值是3，最小值大于$\frac{3}{2}$，
即函数的值域是（$\frac{3}{2}$，3]．

点评 本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．