Question

12．若关于x的方程$\frac{lnx}{x}$-a=0（e为自然对数的底数）有实数根，则实数a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{e}$]．

Answer 1

分析 由方程可得lnx=ax，令y=lnx与y=ax的函数图象有交点即可得出a的范围．

解答 解：由$\frac{lnx}{x}$-a=0得lnx=ax，
∴y=lnx与y=ax的函数图象有公共点，
作出y=lnx与y=ax的函数图象如图所示：

显然当a≤0时，y=ax与y=lnx的图象总有交点，符合题意；
设直线y=kx与y=lnx相切，切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k{x}_{0}}\\{{y}_{0}=ln{x}_{0}}\\{\frac{1}{{x}_{0}}=k}\end{array}\right.$，解得k=$\frac{1}{e}$．
∴当0＜a≤$\frac{1}{e}$时，y=ax与y=lnx的图象有交点，符合题意；
当a$＞\frac{1}{e}$时，y=ax与y=lnx的图象没有交点，不符合题意．
综上，a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{e}$]，
故答案为（-∞，$\frac{1}{e}$]．

点评 本题考查了方程的根与函数图象的关系，属于中档题．