Question

17．设向量$\overrightarrow m=（4cosx，1）$$\overrightarrow n=（sin（x+\frac{π}{6}），-1）$，函数$g（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（Ⅰ）若ω是函数y=g（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的零点，求sinω的值；
（Ⅱ）设$α∈（0，\frac{π}{2}），β∈（\frac{π}{2}，π）$，$g（\frac{α}{2}-\frac{π}{6}）=\frac{6}{5}，g（\frac{β}{2}）=-\frac{24}{13}$，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g（x）的解析式，求出ω的值，从而求出sinω的值即可；（Ⅱ）根据两角和的三角函数公式求出sin（α+β）的值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow m=（4cosx，1）$$\overrightarrow n=（sin（x+\frac{π}{6}），-1）$，
函数$g（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，
∴g（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=4cosx•sin（x+$\frac{π}{6}$）+1×（-1）
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-------------------------------------（3分）
由$g（ω）=2sin（2ω+\frac{π}{6}）=0$
得：$2ω+\frac{π}{6}=kπ（k∈Z）$∴$ω=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$
又∵$0≤ω≤\frac{π}{2}$∴$ω=\frac{5π}{12}$--------------------------------------------------------------------（5分）
∴$sinω=sin\frac{5π}{12}=sin（\frac{π}{6}+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$-----------（6分）
（Ⅱ）∵$g（\frac{α}{2}-\frac{π}{6}）=\frac{6}{5}，g（\frac{β}{2}）=-\frac{24}{13}$，
∴$2sin（2（\frac{α}{2}-\frac{π}{6}）+\frac{π}{6}）=\frac{6}{5}2sin（2×\frac{β}{2}+\frac{π}{6}）=-\frac{24}{13}$，
∴$sin（α-\frac{π}{6}）=\frac{3}{5}sin（β+\frac{π}{6}）=-\frac{12}{13}$------------------------------------------（8分）
$\begin{array}{l}∵α∈（0，\frac{π}{2}），β∈（\frac{π}{2}，π），\\∴α-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}），β+\frac{π}{6}∈（\frac{2π}{3}，\frac{7π}{6}），\end{array}$
∴$cos（α-\frac{π}{6}）=\frac{4}{5}，cos（β+\frac{π}{6}）=-\frac{5}{13}$-------------（10分）
$\begin{array}{l}∴sin（α+β）=sin[（α-\frac{π}{6}）+（β+\frac{π}{6}）]\\=sin（α-\frac{π}{6}）cos（β+\frac{π}{6}）+cos（α-\frac{π}{6}）sin（β+\frac{π}{6}）\\=\frac{3}{5}×（-\frac{5}{13}）+\frac{4}{5}×（-\frac{12}{13}）\end{array}$
=$-\frac{63}{65}$．-------------------（12分）

点评 本题考查了三角函数的性质以及化简求值问题，考查转化思想，是一道中档题．