Question

13．设函数f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\sqrt{3}{sin^2}$ωx-sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为$\frac{π}{4}$，则f（x）在区间$[-\frac{π}{4}，0]$上的最大值为1．

Answer 1

分析 通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的正确求出ω的值；通过x 的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域与单调性直接求解f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，0]上的最大值即可．

解答 解：函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\sqrt{3}$sin²ωx-sinωxcosωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos2ωx}{2}$-$\frac{1}{2}$sin2ωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx-$\frac{1}{2}$sin2ωx
=-sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）．
因为y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为$\frac{π}{4}$，故周期为π
又ω＞0，所以 $\frac{2π}{2ω}$=4×$\frac{π}{4}$，解得ω=1；
故f（x）=-sin（2x-$\frac{π}{3}$），
当-$\frac{π}{4}$≤x≤0时，-$\frac{5π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤-$\frac{π}{3}$，
故2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$时，f（x）_max=-sin（-$\frac{π}{2}$）=1，
故答案为：1．

点评 本题考查二倍角的三角函数以及两角和的正弦函数，三角函数的周期，正弦函数的值域与单调性的应用，考查计算能力，属于中档题．