Question

函数y=x+

3x-x2-2

的值域是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：先求的函数的定义域，根据y-x=

3x-x2-2

求得y的一个范围，进而平方消根号，整理出关于x的一元二次方程，利用二次函数的性质求得y的范围，最后综合得到答案．

解答： 解：要使函数有意义需3x-x²-2≥0，求得1≤x≤2，
y-x=

3x-x2-2

≥0，①
∴y≥x≥1，②
对①式等号两边平方得（y-x）²=3x-x²-2，
整理得2x²-（3+2y）x+2+y²=0，
令f（x）=2x²-（3+2y）x+2+y²，f（1）=y²-2y+1≥0，
要使方程2x²-（3+2y）x+2+y²=0，在[1，2]范围内有解，需

△=(3+2y)2-8(2+y2)≥0 1＜ 3+2y 4 ＜2

求得

1

2

＜y≤

3+ 2

2

，③
综合②③得1≤y≤

3+ 2

2

，
故答案为：[1，

3+ 2

2

]．

点评：本题主要考查了函数的值域，二次函数的性质．运用了转化与化归的思想，利用二次函数的性质求值域．