Question

以下结论正确的有

 

（写出所有正确结论的序号）．
①奇函数的图象必过坐标原点；
②

- a3

=-a

-a

；
③对于函数f（x）=

x

，x∈[0，1]当x₁≠x₂时，都有

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

）成立；
④若α为第二象限角，则

α

2

的终边在第二或第三象限；
⑤若方程2ax²-1=0在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是（

1

2

，+∞）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：①举反例：函数f（x）=

1

x

（x∈R且x≠0）是奇函数，但是不过原点；
②由

- a3

可知a≤0；
③

f(x1)+f(x2)

2

=

x1 + x2

2

，f（

x1+x2

2

）=

x1+x2 2

，平方作差即可比较出大小；
④若α为第二象限角可得2kπ+

π

2

＜α＜2kπ+π，得到kπ+

π

4

＜

α

2

＜kπ+

π

2

（k∈Z），对k分奇数、偶数讨即可得出；
⑤若方程2ax²-1=0在（0，1）内恰有一解，可得0＜

1

2a

＜1，解得a的取值范围即可．

解答： 解：①奇函数的图象必过坐标原点，不正确，例如函数f（x）=

1

x

（x∈R且x≠0）是奇函数，但是不过原点；
②由

- a3

可知a≤0，因此

-a3

=-a

-a

正确；
③对于函数f（x）=

x

，x∈[0，1]，当x₁≠x₂时，

f(x1)+f(x2)

2

=

x1 + x2

2

，f（

x1+x2

2

）=

x1+x2 2

，
∴(

x1 + x2

2

)2-(

x1+x2 2

)2=-(

x1 + x2

2

)2＜0，∴

x1 + x2

2

＜

x1+x2 2

，因此成立；
④∵α为第二象限角，∴2kπ+

π

2

＜α＜2kπ+π，∴kπ+

π

4

＜

α

2

＜kπ+

π

2

（k∈Z），对k分奇数、偶数讨论即可得出：

α

2

的终边在第一或第三象限，因此④不正确；
⑤若方程2ax²-1=0在（0，1）内恰有一解，∴0＜

1

2a

＜1，解得a的取值范围是（

1

2

，+∞），正确．
综上可知：只有②③⑤正确．
故答案为：②③⑤．

点评：本题考查了函数的单调性、奇偶性、根式的性质、方程的解等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．