Question

设f（x）=e^x-1．当a＞ln2-1且x＞0时，证明：f（x）＞x²-2ax．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：欲证f（x）＞x²-2ax，即证e^x-x²+2ax-1＞0．构造函数u（x）=e^x-x²+2ax-1，则u′（x）=e^x-2x+2a．令h（x）=e^x-2x+2a，则h′（x）=e^x-2．由此利用导数性质能证明当a＞ln 2-1且x＞0时，f（x）＞x²-2ax．

解答： 证明：欲证f（x）＞x²-2ax，即e^x-1＞x²-2ax，
即证e^x-x²+2ax-1＞0．
可令u（x）=e^x-x²+2ax-1，则u′（x）=e^x-2x+2a．
令h（x）=e^x-2x+2a，则h′（x）=e^x-2．
当x∈（-∞，ln 2）时，h′（x）＜0，
函数h（x）在（-∞，ln 2]上单调递减，
当x∈（ln 2，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）在[ln 2，+∞）上单调递增．
所以h（x）的最小值为h（ln 2）=e^ln2-2ln 2+2a=2-2ln 2+2a．
因为a＞ln 2-1，
所以h（ln 2）＞2-2ln 2+2（ln 2-1）=0，即h（ln 2）＞0．
所以u′（x）=h（x）＞0，即u（x）在R上为增函数．
故u（x）在（0，+∞）上为增函数．所以u（x）＞u（0）．
而u（0）=0，所以u（x）=e^x-x²+2ax-1＞0．
故当a＞ln 2-1且x＞0时，f（x）＞x²-2ax．

点评：本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．是中档题．