Question

如图所示，PA为⊙0的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5．
（Ⅰ）求证：

AB

AC

=

PA

PC

；
（Ⅱ）求AC的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,相似三角形的性质

专题：综合题,立体几何

分析：（Ⅰ）PA为⊙O的切线，可得∠ACP=∠PAB，由∠P=∠P，可得△PAB∽△PCA，即可证明结论；
（Ⅱ）证明∠ACB=90°，可求AC的值．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA为⊙O的切线，∴∠ACP=∠PAB，
又由∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，
∴

AB

AC

=

PA

PC

．…（4分）
（Ⅱ）解：∵PA为⊙0的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，
∴PA²=PB•PC．
又∵PA=10，PB=5，
∴PC=20，BC=5…（7分）
由（Ⅰ）知，

AB

AC

=

PA

PC

=

1

2

，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴AC=

BC2-AB2

=6

5

 …（10分）

点评：本题考查了切割线定理，考查三角形相似的判断与性质的运用，解题的关键是运用切割线定理列方程求解．