Question

已知f（x）=-x²+2ax+1-a，
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=0的根一个在区间（-1，0）内，另一个在区间（1，2）内，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ） 根据f（x）=-（x-a）²+a²-a+1 的图象开口向下，且对称轴为x=a，分当a＜0时、当0≤a≤1时、当a＞1时三种情况，分别由函数取得最大值为2，求得a的值．
（Ⅱ）由题意可得

f(-1)=-3a＜0 f(0)=1-a＞0 f(1)=a＞0 f(2)=3a-3＜0

，由此求得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=-x²+2ax+1-a=-（x-a）²+a²-a+1 的图象开口向下，且对称轴为x=a，
当a＜0时，函数f（x）在区间[0，1]上是减函数，故当x=0时，函数取得最大值为1-a=2，求得a=-1．
当0≤a≤1时，函数的最大值为 a²-a+1=2，求得a=

1± 5

2

 （舍去）．
当a＞1时，函数f（x）在区间[0，1]上是增函数，故当x=1时，函数取得最大值为a=2．
综上可得，a=-1，或a=2．
（Ⅱ）若方程f（x）=0的根一个在区间（-1，0）内，另一个在区间（1，2）内，
则有

f(-1)=-3a＜0 f(0)=1-a＞0 f(1)=a＞0 f(2)=3a-3＜0

，求得 0＜a＜1．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．