Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a=3，cosB=

2

3

，bsinA=3csinB，
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求sin（2B-

π

3

）的值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）根据 a=3、bsinA=3csinB，由正弦定理可得 ba=3cb，求得c的值，再利用余弦定理求出b的值．
（Ⅱ）利用二倍角公式求得sin2B和cos2B的值，再利用两角差的正弦公式求得sin（2B-

π

3

）的值．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a=3、bsinA=3csinB，由正弦定理可得 ba=3cb，故有 a=3c，解得 c=1．
再根据cosB=

2

3

，利用余弦定理可得 b²=a²+c²-2ac•cosB=9+1-6×

2

3

=6，∴b=

6

．
（Ⅱ）由于sin2B=2sinBcosB=2

1-cos2B

•cosB=2×

5

3

×

2

3

=

4 5

9

，cos2B=2cos²B-1=2×

4

9

-1=-

1

9

，
∴sin（2B-

π

3

）=sin2Bcos

π

3

-cos2Bsin

π

3

=

4 5

9

×

1

2

-（-

1

9

）×

3

2

=

4 5 + 3

18

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角和差的正弦公式，二倍角公式的应用，属于基础题．